Damian Dąbrowski urodził się 27 sierpnia 1992 roku w Kamiennej Górze. Swoją karierę zaczynał od Amico Lubin, skąd w wieku juniorskim przeszedł do Zagłębia Lubin. W zespole "Miedziowych" zadebiutował na poziomie ekstraklasy w sezonie 2010/2011, ale o miejsce na placu nie miał łatwo, bo wówczas w ogóle nie zwracało się uwagi na wychowanków. W sumie w miedziano-biało-zielonych barwach zagrał 28 meczów, w których zaliczył trzy asysty. "Dąbek" był nieco rzucany w następnych sezonach i na zasadzie wypożyczenia grał w Górniku Polkowice oraz Cracovii. Zespół "Pasów" po udanym wypożyczeniu zdecydował się na jego wykupienie. Jego licznik meczów w koszulce w pasy zakończył się na 187, a zostały one okraszone ośmioma golami i 23 asystami. Dąbrowski w Krakowie był jednym z lepszych pomocników ligi, dzięki czemu trafił do reprezentacji Polski, gdzie zadebiutował 14 listopada 2016 roku, w zremisowanym 1:1 meczu ze Słowenią. 

24 sierpnia 2019 roku dołączył do Pogoni Szczecin, ciekawostką jest, że wówczas rozmawiał również z Zagłębiem Lubin, które chciało mieć go u siebie. Kariera środkowego pomocnika układała się w Szczecinie dobrze. W sezonach 2020/2021 oraz 2021/2022 z Pogonią zajął 3. miejsce w ekstraklasie, tym samym zdobywając brązowy medal. W lipcu 2021 roku, po odejściu Adama Frączczaka, Dąbrowski został mianowany nowym kapitanem Pogoni. W ostatnim sezonie, choć grał regularnie, jego pozycja nieco osłabła. Głównie przez to, że trener Jens Gustafsson nie do końca potrafił wykorzystać walory 30-latka. W Pogoni Szczecin w sumie Damian Dąbrowski rozegrał 127 meczów, strzelił pięć goli i zaliczył dziesięć asyst.

Bilans Damiana Dąbrowskiego jest pokaźny. Rozegrał 297 meczów w ekstraklasie (13 G/32A), 36 w 1. Lidze (1G/1A), 17 w Pucharze Polski (2A) oraz 10 w eliminacjach europejskich pucharów (1A). Przeciwko "Miedziowym" Damian zagrał 17 meczów, zdobył w nich jednego gola i zaliczył sześć asyst.

Jak udało się nam ustalić, Damian Dąbrowski podpisze z Zagłębiem Lubin kontrakt obowiązujący do 30 czerwca 2026 roku.